제2권: 역학 — 운동의 세계

Chapter 3: 역학의 더 깊은 원리

1-2. 뉴턴 법칙과의 연결

"수많은 경로 중 작용이 최소인 경로를 택한다"는 원리 하나에서, 정말로 $F = ma$가 튀어나올까?

만약 그렇다면, 최소작용원리는 뉴턴의 운동 법칙을 포함하는 더 깊은 원리가 된다.

지금까지의 이야기

이전 절(1-1)에서 우리는 물리학에서 가장 아름다운 원리 중 하나를 만났다.

• 라그랑지안: $L = T - V$ (운동 에너지 빼기 퍼텐셜 에너지)
• 작용: $S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt$ (라그랑지안을 시간에 걸쳐 합산)
• 최소작용원리: 자연은 작용 $S$가 극소가 되는 경로를 택한다

그리고 자유낙하하는 공의 예에서, 최소작용원리가 택하는 경로가 뉴턴 법칙이 예측하는 포물선과 같다는 것을 "보여주었다." 하지만 정직하게 말하면, 우리는 아직 이것을 증명하지 않았다. 자유낙하뿐 아니라 모든 상황에서, 최소작용원리가 $F = ma$와 같은 결과를 주는지 확인해야 한다.

이번 절의 핵심 질문은 이것이다:

"작용을 최소화하라"는 조건에서, 어떤 수학적 방정식이 나오는가? 그리고 그 방정식이 정말로 $F = ma$인가?