제2권: 역학 — 운동의 세계

Chapter 3: 역학의 더 깊은 원리

1. 최소작용원리 — 자연은 가장 "경제적인" 경로를 택한다

1-1. 최소작용원리의 아이디어

"자연은 항상 가장 '경제적인' 길을 선택한다."

이 말이 사실이라면, 우리가 뉴턴의 법칙을 몰라도 물체가 어떤 경로로 움직일지 맞힐 수 있다. 정말 그런 걸까?

빛은 왜 최단 시간 경로를 택하는가

수영장 한쪽 끝에 서서 대각선 반대편 바닥에 떨어진 동전을 바라본다고 상상해 보자. 물속에서 동전의 위치가 실제보다 얕아 보인다는 사실을 경험한 적이 있을 것이다. 이것은 빛이 물에 들어갈 때 꺾이기 때문이다 — 고등학교에서 배운 굴절이다.

그런데 여기서 놀라운 질문이 하나 있다.

"빛은 왜 하필 그 각도로 꺾일까?"

1662년, 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마는 충격적인 답을 내놓았다. 빛은 출발점에서 도착점까지 가는 데 걸리는 시간이 가장 짧은 경로를 택한다는 것이다. 공기 중에서는 빛이 빠르고 물속에서는 느리니까, 빛은 공기 구간을 좀 더 길게, 물속 구간을 좀 더 짧게 가도록 꺾인다. 마치 해변에서 물에 빠진 사람을 구하러 갈 때, 모래사장(빠르게 달릴 수 있는 곳)을 길게 달리고 물속(느린 곳)을 짧게 헤엄치는 것이 가장 빠른 것과 같다!

이것이 유명한 페르마의 원리(Fermat's Principle)다. 빛은 "가장 빠른 길"을 안다. 이 원리 하나만으로 반사의 법칙과 굴절의 법칙(스넬의 법칙)이 모두 유도된다.

잠깐. 빛에게 뇌가 있는 것도 아닌데, 어떻게 "가장 빠른 길"을 미리 알고 택할 수 있단 말인가? 이것은 당시에도, 그리고 지금도 매우 심오한 질문이다. 하지만 놀랍게도, 이런 식의 원리 — "자연은 어떤 양을 최소(또는 극값)로 만드는 경로를 택한다" — 가 빛뿐만 아니라 모든 물리적 운동에 적용된다는 것이 밝혀졌다.

이것이 바로 물리학에서 가장 아름다운 원리 중 하나인 최소작용원리의 이야기다.